Voir la source de Prépa:Maths/Dimension finie

''Fiche d'exemple : elle montre toutes les boîtes. Modifie-la ou supprime-la librement.''

Dans tout le chapitre, <math>\mathbb{K}=\R</math> ou <math>\C</math>, et <math>E</math>, <math>F</math> sont des <math>\mathbb{K}</math>-espaces vectoriels.

== Définitions ==
{{Définition
|titre=Rang d'une application linéaire
|contenu=
Soit <math>f\in\mathcal{L}(E,F)</math>. Si <math>\operatorname{Im} f</math> est de dimension finie, le '''rang''' de <math>f</math> est
<math display="block">\operatorname{rg}(f)=\dim \operatorname{Im}(f).</math>
}}

== Théorèmes et propriétés ==
{{Théorème
|titre=Théorème du rang
|contenu=
Soit <math>E</math> de dimension finie et <math>f\in\mathcal{L}(E,F)</math>. Alors <math>\operatorname{Im} f</math> est de dimension finie et
<math display="block">\dim E=\operatorname{rg}(f)+\dim\ker f.</math>
}}
{{Démonstration
|titre=du théorème du rang
|contenu=
<math>E</math> étant de dimension finie, <math>\ker f</math> admet un supplémentaire <math>S</math> dans <math>E</math>. Considérons <math>g=f_{|S}^{|\operatorname{Im} f}\colon S\to\operatorname{Im} f</math>.
* ''Injectivité'' : <math>\ker g=S\cap\ker f=\{0\}</math>.
* ''Surjectivité'' : soit <math>y=f(x)\in\operatorname{Im} f</math>. On écrit <math>x=k+s</math> avec <math>k\in\ker f</math>, <math>s\in S</math> ; alors <math>y=f(k)+f(s)=g(s)</math>.
Donc <math>g</math> est un isomorphisme : <math>\operatorname{rg}(f)=\dim S=\dim E-\dim\ker f</math>.
}}
{{Théorème
|type=Corollaire
|titre=Caractérisation des isomorphismes
|contenu=
Si <math>\dim E=\dim F=n</math> finie et <math>f\in\mathcal{L}(E,F)</math> :
<math display="block">f \text{ injective}\iff f\text{ surjective}\iff f\text{ bijective}\iff \operatorname{rg}(f)=n.</math>
}}

== Méthodes ==
{{Méthode
|titre=Montrer qu'une famille est une base
|contenu=
Si <math>\dim E=n</math> et <math>\mathcal{F}</math> a exactement <math>n</math> vecteurs, il suffit de vérifier '''une seule''' des deux propriétés :
# <math>\mathcal{F}</math> est libre (souvent le plus simple) ;
# ou <math>\mathcal{F}</math> est génératrice.
}}

== Formules à connaître ==
{{Formule
|titre=Formule de Grassmann
|contenu=
<math display="block">\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G)</math>
}}

== Pièges ==
{{Attention
|contenu=
<math>\dim E=\operatorname{rg} f+\dim\ker f</math> ne dit '''pas''' que <math>E=\ker f\oplus\operatorname{Im} f</math> (cela n'a même pas de sens si <math>F\neq E</math>). Contre-exemple dans <math>\R^2</math> : <math>f(x,y)=(y,0)</math>, pour lequel <math>\ker f=\operatorname{Im} f=\R\times\{0\}</math>.
}}

== Exercices types ==
{{Exercice
|titre=Noyau et image supplémentaires
|source=Classique
|énoncé=
Soit <math>E</math> de dimension finie et <math>f\in\mathcal{L}(E)</math>. Montrer que <math>E=\ker f\oplus\operatorname{Im} f \iff \ker f\cap\operatorname{Im} f=\{0\}</math>.
|solution=
<math>(\Rightarrow)</math> est immédiat. <math>(\Leftarrow)</math> : la somme <math>\ker f+\operatorname{Im} f</math> est directe, donc de dimension <math>\dim\ker f+\operatorname{rg} f=\dim E</math> par le théorème du rang. C'est un sous-espace de <math>E</math> de même dimension, donc égal à <math>E</math>.
}}

== Voir aussi ==
* [[Prépa:Maths/Applications linéaires]]
* [[Prépa:Maths/Matrices et applications linéaires]]