Prépa:Maths/Dimension finie

Fiche d'exemple : elle montre toutes les boîtes. Modifie-la ou supprime-la librement.

Dans tout le chapitre, $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ , et $E$ , $F$ sont des $𝕂$ -espaces vectoriels.

Définitions

DéfinitionRang d'une application linéaire

Soit $f \in ℒ (E, F)$ . Si $Im f$ est de dimension finie, le rang de $f$ est $rg (f) = \dim Im (f) .$

Théorèmes et propriétés

ThéorèmeThéorème du rang

Soit $E$ de dimension finie et $f \in ℒ (E, F)$ . Alors $Im f$ est de dimension finie et $\dim E = rg (f) + \dim \ker f .$

Démonstrationdu théorème du rang

$E$ étant de dimension finie, $\ker f$ admet un supplémentaire $S$ dans $E$ . Considérons $g = f_{| S}^{| Im f} : S \to Im f$ .

Injectivité : $\ker g = S \cap \ker f = {0}$ .
Surjectivité : soit $y = f (x) \in Im f$ . On écrit $x = k + s$ avec $k \in \ker f$ , $s \in S$ ; alors $y = f (k) + f (s) = g (s)$ .

Donc $g$ est un isomorphisme : $rg (f) = \dim S = \dim E - \dim \ker f$ .

CorollaireCaractérisation des isomorphismes

Si $\dim E = \dim F = n$ finie et $f \in ℒ (E, F)$ : $f injective ⟺ f surjective ⟺ f bijective ⟺ rg (f) = n .$

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une famille est une base

Si $\dim E = n$ et $ℱ$ a exactement $n$ vecteurs, il suffit de vérifier une seule des deux propriétés :

$ℱ$ est libre (souvent le plus simple) ;
ou $ℱ$ est génératrice.

Formules à connaître

FormuleFormule de Grassmann

$\dim (F + G) = \dim F + \dim G - \dim (F \cap G)$

Pièges

Attention

$\dim E = rg f + \dim \ker f$ ne dit pas que $E = \ker f \oplus Im f$ (cela n'a même pas de sens si $F \neq E$ ). Contre-exemple dans $ℝ^{2}$ : $f (x, y) = (y, 0)$ , pour lequel $\ker f = Im f = ℝ \times {0}$ .

Exercices types

ExerciceNoyau et image supplémentaires

Soit

E

de dimension finie et

f \in ℒ (E)

. Montrer que

E = \ker f \oplus Im f ⟺ \ker f \cap Im f = {0}

.

Source : Classique

Solution

$(\Rightarrow)$ est immédiat. $(\Leftarrow)$ : la somme $\ker f + Im f$ est directe, donc de dimension $\dim \ker f + rg f = \dim E$ par le théorème du rang. C'est un sous-espace de $E$ de même dimension, donc égal à $E$ .

Voir aussi